ange ekvationen för det plan som skärs under rät vinkel av linjen x=5-y=3z+1 i punkten (4,1,1)

För att bestämma ekvationen för det plan som skärs under rät vinkel av linjen \( x = 5 - y = 3z + 1 \) i punkten \( (4, 1, 1) \), måste vi använda följande steg:

### Steg 1: Parametrisera linjen
Linjen ges av \( x = 5 - y = 3z + 1 \), vilket vi kan omforma till en parameterframställning.

- Från \( x = 5 \), har vi att \( x \) är konstant: \( x = 5 \).
- Från \( y = 5 - x \), får vi att \( y = 5 - t \).
- Från \( z = \frac{t - 1}{3} \).

### Steg 2: Bestäm normalvektorn till planet
Ett plan skärs vinkelrätt mot linjen, vilket betyder att planet har en normalvektor som är parallell med linjens riktningsvektor.

Riktningsvektorn för linjen kan erhållas från parametriseringen:

\[
\mathbf{r} = (0, -1, 3)
\]

Där \( \mathbf{r} = (A, B, C) \) representerar linjens riktningsvektor.

### Steg 3: Ekvationen för planet
Ett plan har den allmänna formen:
\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]
Där \( (A, B, C) \) är normalvektorn till planet och \( D \) är en konstant.

Eftersom planet är vinkelrätt mot linjen, blir normalvektorn till planet samma som linjens riktningsvektor, dvs. \( (A, B, C) = (0, -1, 3) \).

### Steg 4: Använd punkten \( (4, 1, 1) \) för att bestämma \( D \)
Vi vet att planet passerar genom punkten \( (4, 1, 1) \). Sätt in denna punkt i planet:

\[
0(4) + (-1)(1) + 3(1) + D = 0
\]

\[
-1 + 3 + D = 0
\]

\[
D = -2
\]

### Slutsats: Ekvationen för planet
Den fullständiga ekvationen för planet blir:

\[
0x - y + 3z - 2 = 0
\]

eller enklare:

\[
-y + 3z = 2
\]

Detta är ekvationen för det plan som skärs under rät vinkel av linjen i punkten \( (4, 1, 1) \).

Vill du ha fler detaljer eller har några frågor?

Här är några relaterade frågor:
1. Hur bestämmer man en normalvektor till ett plan?
2. Hur omvandlar man en parametrisk ekvation till en kartesisk form?
3. Hur kan man verifiera att två geometriska objekt är vinkelräta?
4. Vad är ett plans ekvation i tre dimensioner?
5. Hur hittar man skärningspunkten mellan en linje och ett plan?

**Tips:** Normalvektorn till ett plan är alltid vinkelrät mot alla vektorer som ligger i planet.

Ange ekvationen för det plan som skärs under rät vinkel av linjen x=5-y=3z+1 i punkten (4,1,1)

Learn how to find the equation of a plane perpendicular to the line x=5-y=3z+1 at the point (4,1,1). This problem involves key analytic geometry concepts such as line parametrization and normal vectors. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation